若 $f(x)$ 可导, 且 $f'(x_0)>0$, 是否一定存在点 $x_0$ 某邻域使得在该邻域内单调递增?

解答: 不一定. 比如 $$\bex f(x)=\sedd{\ba{ll} x+2x^2\sin\cfrac{1}{x},&x\neq 0,\\ 0,&x=0. \ea} \eex$$ 则 $f'(0)=1$, 但由 $$\bex f'(x)=1-2\cos\frac{1}{x}+4x\sin\frac{1}{x} \eex$$ 知 $$\bex f'\sex{\frac{1}{(2n+1)\pi}}=3,\quad f'\sex{\frac{1}{2n\pi}}=-1. \eex$$

设 $f\in C^2[a,b]$ 适合 $f(a)=f(b)=0$. 试证: $$\bex \forall\ x\in [a,b],\ \exists\ \xi\in (a,b),\st f(x)=\frac{1}{2}(x-a)(x-b)f''(\xi). \eex$$

证明: 对任意固定的 $x$, 作 $$\bex F(x)=f(t)-\frac{f(t)}{(x-a)(x-b)}(t-a)(t-b), \eex$$ 则 $$\bex F(a)=F(x)=F(b)=0. \eex$$ 应用三次 Rolle 定理, $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st F''(\xi)=0. \eex$$